数理統計学ノート02 母関数と特性関数
母関数と特性関数について整理する。
副読本
公理的確率論からかなり丁寧に概念の理解を進められる本
シンプルに、特性関数周りの解説はこちらのほうが優しい気がする。
確率母関数
確率母関数を使った期待値と分散の導出は、統計検定1級ではよくある。
でも実際は、期待値や分散の導出は、確率母関数や積率母関数を使わずに
それぞれの定義を使った導出もできたほうが良い。
定義 確率母関数
\[ G(s) = E(s^X) = \sum_{x=0}^{\infty}s^{x}p(x) \]
積率母関数
積率母関数は、(確率密度関数\(f_X(x)\)の)ラプラス変換として解釈できるらしい。
積率母関数を使った期待値と分散の導出は、統計検定1級ではよくあると思われる。
定義 積率母関数
\[ \phi(\theta) = E(e^{\theta X}) = \int_{\mathbb{R}^d}e^{\theta x}f_X(x)dx \]
特性関数
特性関数は、(確率密度関数\(f_X(x)\)の)フーリエ変換として解釈できるらしい。
ここで\(i\)は虚数単位である。
定義 特性関数
\[ \phi(t) = E(e^{itX}) = \int_{\mathbb{R}^d}e^{itx}f_{X}(x)dx \]